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从线性方程组到行列式 [复制链接]

1#

客观现象纷繁复杂,数学旨在通过运用直觉,类比,归纳,联想,推理等方法探索这些纷繁复杂的现象背后井然有序的规律。

Part1n阶矩阵的引入

生活中总会遇到许许多多需要用数学来解决的问题,在解决这些问题的过程中我们得出了许多有用的数学工具,其中一种就是方程。从小到大我们遇到过各种各样的方程,不过这次我们要讨论的主要是n元线性方程组。

首先我们通过一个例子来概括一下解方程组的一般方法

解这个方程组并不难,这里直接给出答案

还可以记作

详细过程由读者自行补充。观察可知(1)到(2)的过程对方程组反复施行了三种变换

1把一个方程的倍数加到另一个方程上

2互换两个方程的位置

3用一个非零数乘以某一个方程

这三种变换称为线性方程组的初等变换。

接下来考虑一般的方程组

对于方程组(3),它的系数全部由字母表示,为了保证初等变换的使用不被影响,我们需要引入数域的概念。

如果复数集的一个子集满足:

10,1

2若

,则

3对于

中的每个非零数

,有

那么称

是一个数域

方程组(3)的所有系数和常数项都要属于某个数域。

接下来我们要证明我们概括出来的初等变换可以帮助我们解方程组,即初等变换后的方程组与原方程同解。

先考虑原方程组有解的情况,设这个解是

。把这组数代入原方程组,得

对(3)式使用与解方程组时相同的初等变换,因为初等变换的过程只有系数和常数项有关,所以得到的等式组与解方程时得到的方程组只有

的区别,也就是说,

同样是变换后的方程组的解,即,初等变换后的方程组与原方程组同解。

再考虑原方程组没有解的情况,用反证法。如果不同解,那么变换后的方程组有解,把它代入后反变回原方程组,这样原方程组也有解了,这与假设矛盾,所以变换后的方程组只能没有解,即,这种情况下初等变换后的方程组与原方程组同解。

刚才我们说到,解方程组的过程只对系数和常数做了运算,所以为了简单起见,我们把(3)的系数和常数项单拿出来写成一张表

称为线性方程组(3)的增广矩阵。

这样,线性方程组的初等变换就变成了矩阵的初等行变换。

1把一行的倍数加到另一行上

2互换两行的位置

3用一个非零数乘以某一行

同样我们还能得到矩阵的初等列变换

1把一列的倍数加到另一列上

2互换两列的位置

3用一个非零数乘以某一列

这样,我们要解方程组只需要对它的增广矩阵作初等行变换就可以了。

接下来我们给出一些和矩阵有关的定义。

个数排成的

行、

列的一张表

称为一个

矩阵,其中

个数称为该矩阵的元素。

矩阵

的第

行与第

列交叉位置的元素

称为

元,记作

(5)也可以简写成

,即

元素全为0的矩阵称为零矩阵。

行数和列数相等的矩阵叫做方阵。

两个矩阵相等,当且仅当它们行数相等,列数相等,且对应位置的元素都相等。

如果矩阵

满足:

(1)

的零行(即元素全为零的行,如果有的话)在下方。

(2)

的每个非零行的第一个不为零的元素称为

的主元,主元的列指标(即在第几列)随着行指标(即在第几行)的递增而严格增大。(主元呈阶梯形)

那么称

是阶梯形矩阵。

如果矩阵

满足/p>

(1)

是阶梯形矩阵

(2)

的主元都是1

(3)

的每个主元所在的列的其余元素都是0

那么称

是简化行阶梯形矩阵。

不难看出,方程组的解对应的矩阵就应该是简化行阶梯形矩阵。所以用矩阵解方程组就是努力把方程组的增广矩阵变换成简化行阶梯形矩阵,这就是解线性方程组的高斯(Gauss)消元法。

但是,用高斯消元法一定可以解方程组吗?换言之,任一矩阵都可以经过一系列初等行变换化成简化行阶梯形矩阵吗?

首先证明任一矩阵都可以经过一系列初等行变换化成阶梯形矩阵。

首先,零矩阵符合阶梯形矩阵的定义。

下面考虑非零矩阵,对矩阵的行数

用数学归纳法。

时,该非零矩阵符合阶梯形矩阵的定义。

假设

行的非零矩阵都能经过初等行变换化成阶梯形矩阵,现在来看

行的情况。根据非零矩阵的定义,一定能找到该非零矩阵不全为零的一列(从左往右找的第一列)。通过初等行变换2使这列的第一行不为零,然后用初等行变换1使这列除了第一行的元素不为零以外全部为零。接着划去第一行和刚才变换得到的只有第一行不为零的那一列以及它之前的列,得到一个

行的矩阵,根据归纳假设,这个

行的矩阵一定可以化成阶梯形矩阵。再把刚才划掉的部分添回来,得到一个

行的阶梯形矩阵。

据数学归纳法原理,对于一切的正整数

行的非零矩阵一定可以化成阶梯形矩阵。

接下来证明任一阶梯形矩阵都可以经过一系列初等行变换化成简化行阶梯形矩阵。

首先,零矩阵是简化行阶梯形矩阵。

下面对非零矩阵的行数

作数学归纳法。

时,矩阵就是简化行阶梯形矩阵。

假设

行的非零阶梯形矩阵可以经过一系列初等行变换化成简化行阶梯形矩阵。现在来看

行的情况。首先用初等行变换3把阶梯形矩阵的主元变成1,然后用初等行变换1把除第一行的主元外所有主元所在列与第一行交叉位置的元素变成0。然后划去第一行和第一行主元所在列及之前的列,得到一个

行的阶梯形矩阵,根据归纳假设,这个

行阶梯形矩阵可化成简化行阶梯形矩阵。然后把之前划去的元素添回来。得到一个

行简化行阶梯形矩阵。

根据数学归纳法原理,对于任意正整数

行的非零阶梯形矩阵都可以经过一系列初等行变换化成简化行阶梯形矩阵。

综上所述,任一矩阵都可以经过一系列初等行变换化成简化行阶梯形矩阵。

Part2

元线性方程组解的情况及其判定

元线性方程组解的情况

之前我们举了一个方程组有解的例子,那么,是不是所有方程组都一定有解呢?显然不是,随便举个例子,如果一个方程组里有

这样一个方程,那么这个方程组一定是无解的,因为我们找不到一个满足上述方程的

值。

把上述方程写成增广矩阵应该是一个除了最后一个元素不为零,其他元素都是零的矩阵。也就是说,如果方程组的增广矩阵化成的简化行阶梯形矩阵(记作

)有

(其中

)这样一行,那么方程组一定无解。

现在来看

中没有

(其中

)这样一行的情况。假设

个非零行,

个未知元,显然它有

列。现在来看方程组的第

行,根据我们的假设,它的主元不能在最后一列(即第

列),所以这个主元的列指标(设为

)满足

。又因为简化行阶梯形矩阵的主元的列指标随行指标的递增而严格增大,所以

,所以我们有

,即

,那么

个主元,而且

的第

个主元不在第

列,因此

个主元分别在第1,2,

列。从而

必形如

所以,线性方程组有唯一解

可以写成如下形式

这个矩阵有点复杂,我先来解释一下。首先,这是一个简化行阶梯形矩阵,它的主元系数全为1,

是它的非主元的未知元的系数。接下来我们来解释一下

的下角标的含义,下角标分为三部分,第一部分代表所在的行数(其实最后一列的

的下角标也是这个意思);第二部分代表它是处于哪个主元到下一个主元之间的非主元的未知元的系数;第三部分是第二部分的补充,为了区分同在某两个主元之间的非主元的未知元的系数。

当然,即使你没看懂上一段也无妨,你只需要知道这是一个简化行阶梯形矩阵,它的主元系数全为1,

是它的非主元的未知元的系数,而下角标只是为了告诉你们它们不是一个数而已。

看懂了这个矩阵,我们来分析它的解的情况。注意到主元只在某一行出现,我们把矩阵变换回方程组,并把主元单独放在等号的一侧,就得到

为了方便交流,我引入两个名词,等号右边的

叫做自由未知量,等号左边的

叫做主变量。不难看出,自由未知量每取一组值,自变量都能对应一组值,把它们合到一起就是原方程组的一个解,综上,这种情况下的方程组有无穷多解。

综上,我们讨论了所有情况的方程组,发现方程组的解的情况有且只有三种,无解,有唯一解,有无穷多解。

知道了线性方程组解的情况,我们来考虑能否找到一个方法,不用解方程就可以判定它解的情况。

二阶行列式

古语有云,麻雀虽小,五脏俱全。我们首先来看二元线性方程组的情况。

考虑线性方程组

其中

不全为零

用Gauss消元法解方程。首先把原方程的增广矩阵化成

不难看出,

时,方程组有唯一解;

时,方程组无解或有无穷多解。

总之,是否为0决定了方程组是否有唯一解。而且,这个式子是由方程组的系数决定的,那我们不妨仿照系数矩阵的写法,把这个表达式记为

称为方程组的行列式。

这样,我们只需要找到二阶行列式的展开方法,然后推广到

阶,虽然

元线性方程组的解的情况不一定和所谓的

阶行列式有关,但是我们至少知道了一条道路,至于通不通我们再走走看。

先来看二阶行列式是怎么展开的。

首先,展开式有两项。再来看角标,第一项的角标是11,22;第二项是12,21。另外,第一项的符号为正,第二项为负。

整个二阶行列式的展开是被这三个条件限制的,所以我们只要找到

阶行列式的这三个条件,就可以写出

阶行列式的展开式了。

项数你可能会猜几阶行列式就有几项,可以,没什么问题。接下来看看角标,仔细观察会发现,每一项的角标的第一个数都是1、2,区别在第二个数,第一项是1、2,第二项是2、1,也就是排列顺序不一样。这样,我们发现了一个漏洞,就是我们对项数的猜想有问题,项数应该是角标的全排列的个数,即

项。至于符号,我们发现,当角标第二项正着排时,符号为正;反着排时符号为负。所以我们定义当一串数有奇数个反着排的数对时,符号为负,反之为正。

阶行列式

总结一下,我们从二阶行列式猜测出的

阶行列式的展开的规则是

1有

2每一项的行指标(角标的第一个数)呈自然序,列指标(角标的第二个数)是

元排列(1~

的全排列)中的一个。

3

元排列的逆序数(反着排的数对的对数,记作

)是奇数时,符号为负,反之为正。

写成数学表达式是

很复杂对吧,不过没关系,直接用定义计算行列式不是特别常见。不过,如果你硬要用定义展开行列式,真正的思路不是套公式。

首先确定是项数,

项,对吧。这

项每项都有

个数相乘,那么这

个数怎么找呢?首先你要保证每行挑一个,然后还要保证每列挑一个。这怎么办呢?我们先从第一行挑起,第一行自然可以随便挑,有

种,然后我们挑第二行,这时我们只要小心不在第一行挑过那列挑就可以了,依次类推。按理说,挑到第

行时应该只剩一个可供选择的位置了。而且这种挑法一共有

种,正好是对应

项。最后确定符号就简单多了,把你挑的元素的列指标排成一列,是奇排列的加一个负号,反之加一个正号。

你可能已经注意到了,保证每行挑一个,每列挑一个还可以从列挑起,就是从第一列开始,每列挑的行指标不相同就可以了。写成式子就是

其实还有一种既不按行也不按列的混排法,十分不实用,这里就不讲了。

行列式的性质

从刚才的例子展开方式就可以看出,按列展开和按行展开有很大相似性。所以,如果我们对行列式进行如下操作(叫做转置)

如果我们对第一个行列式按行展开,第二个行列式按列展开,结果是一样的,因为我们进行的操作就是把原来的行指标当成列指标。

还记得我们研究行列式的性质的目的是什么吗?为了研究方程组解的情况。那么我们应该研究一下用来解方程的初等行变换作用到行列式上会发生什么。

先把行列式的第

行乘一个常数

按定义展开(看不懂公式的跳转到文字叙述部分)

提出公因数

,得

文字叙述就是,由于行列式展开需要保证每一项中的

个元素分别取自不同行,所以每一项有且仅有一个

行的元素,即每一项都有且仅有一个因子

,把它提出来就得到了

乘原行列式(因为变换后的行列式与原行列式只有一

之差)。

如果我们把行列式的两行互换

这里直接文字叙述(因为和公式版证明思路基本一样)。先来看原行列式展开式中的一项,我们从第一行挑起,一直挑到第

行。

接下来看变换后的行列式,如果我们保证除去系数的部分一致,看看会有什么不一样。同样的步骤,从第一行挑起,不过挑到第

行时,出现了问题,原来位于第

行的是

,现在是

,而

跑到了第

行。这时如果我们保证除了系数部分一致,就要挑原来第

行的元素,同样,当我们挑到第

行时,我们就要挑原来第

行的元素。这样就导致了这项的列指标的排序和原来不同。那么是哪里不同呢?是第

行的数字和第

行的数字换了位置。

接下来我们探究一下,一串数中的两个互换位置会对逆序数产生什么影响。先看两个数相邻的情况

这种操作记为

。这种情况下,不管

前面的数

还是后面的数

,与

构成的逆序都没有变,只是

会由顺序变为逆序或逆序变为顺序,所以逆序数会加一或减一。

然后我们来看一般的情况

这个过程需要经过

次相邻的对换,逆序数也会加上或减去一个奇数。这样会导致这项符号改变。而行列式展开的所有项都会有这样的问题,合起来就是两行互换,行列式值变为原来的相反数。

那么我们很容易想到一种情形,如果行列式有两行相同,那么我们对换这两行。就会得到变换前和变换后的行列式互为相反数。另外,变换前后的行列式是相同的。也就是说,这个行列式的值等于它的相反数,这样的数只有0。总结一下,有两行相同的行列式的值等于0。

结合之前的性质,不难证明如果一个行列式有一行是另一行的常数倍,那么这个行列式等于0。

接下来看最后一种初等行变换,把一行的倍数加到另一行。

为了研究这种情况,我们首先要知道

等于什么。

先用公式证明(看不懂的去后面看文字叙述)

这里我假定

在第

接下来是文字叙述的证明。由于行列式展开时要保证每行取而且只取一个,所以每一项都会有一个第

行的元素,根据乘法分配律,可以把每一项都展开,然后含

的放一起,含

的放一起,得到了我们要证的结果。

现在我们来解决之前提出的问题

用我们之前证过的性质可以推出,行列式值不变。

对行列式应用初等行变换会发生什么你已经知道了,不过不要忘了最开始我们的性质,对我们得到的性质求转置,我们得到对行成立的性质对列也成立。

克莱姆法则

准备工作做完了,我们来探究一下

元线性方程组的解的情况是不是真的和

阶行列式有关。

首先考虑数域

上的

元线性方程组

把它的增广矩阵记为

,系数矩阵(增广矩阵去掉最后一列)记为

,增广矩阵化为简化行阶梯形矩阵记为

,对应的系数矩阵记为

。它们对应的行列式就是在矩阵边上加两道小竖线。

我们之前讨论过线性方程组解的三种情况和对应的增广矩阵化为简化行阶梯形矩阵的情况,现在我们以此为基础进行讨论。

如果线性方程组有唯一解,那么

所以

展开这个行列式,首先在第一行取一个,因为只要有一个乘数为零积就为零,所以第一行只有取第一个数才能使这项不为零。同样的第二行只能取第二个数。最后第

行只能取第

个数。判断一下符号,为正,所以行列式值等于1。

根据行列式的性质,对行列式做初等行变换只会使行列式的值变成常数倍。所以如果一个线性方程组有唯一解,那么它系数矩阵的行列式不等于零。

考虑另外两种情形,方程组无解,那么

行,所以

行。那么我们在展开

时,每一项都要取这一行的元素,所以行列式值等于0。

方程组有无穷多解,方程数少于未知元数。我们需要用不影响解的零行把系数矩阵填成方阵。这样行列式有零行,值等于0。

所以行列式值等于零,方程组无解或有无穷多解。

综上,方程组有唯一解当且仅当方程组的系数矩阵的行列式值为0。这就是克莱姆(Cramer)法则。

Part3再探行列式

方程组的解的情况居然可以通过行列式的值判定,可见这个概念之重要,接下来让我们深入研究一下。

行列式按一行(列)展开

观察行列式的展开过程就会发现,如果我们在第一行取一个元素,那么剩下的元素只能在划掉这个元素所在的行和列剩下的

个元素中取,而且取法和行列式的取法相同。于是,我们猜测,行列式可不可以写成某一行元素和一些行列式乘积的和的形式。

想法有了,我们来实操一下。我们把一个

阶行列式按第

行展开,第一项应该是

接下来判断一下这一项的符号。想一想我们正常展开行列式时,符号是怎么判定的,当行指标呈自然序时求列指标序列的逆序数。我们先把第一项的行列式部分(叫做

的余子式)按行指标呈自然序展开,然后把

放在最前面。这时,列指标序列的逆序数相比于余子式没有变(毕竟1最小,放在前面和谁也不构成逆序),但是行指标不是自然序,想要行指标变成自然序,就要把第一个数对换成第

个数。

这需要经过

次对换(对换到1后面需要一次,对换到

后面需要

次)。同时,列指标也对换了

次,这意味着正常展开时的符号是余子式符号变换

次的结果(和

次一样)。写成数学公式的完整形式是

OK,接下来我们研究一般的情况。行列式按一行展开的第

项是

接下来判定一下符号。先打开

的余子式,然后把

放在前面,这时列指标构成序列的逆序数会在余子式的逆序数上增加

(因为有

个数比

小)。接下来把行指标变成自然序,需要对换

次,这样列指标就对换了

次。总之逆序数相比于余子式改变了

。另外

,所以第

项的完整形式是

综上,行列式按一行展开的公式应该是(不喜欢看公式可以跳过,不影响阅读)

其中

叫做

的代数余子式。

应用行列式转置的性质,不难得出行列式按一列展开的公式。

克莱姆公式

我们知道当方程组系数矩阵的行列式不等于零时,方程组有唯一解。那么如何求出这唯一的解呢?

考虑有唯一解线性方程组

用Gauss消元法解方程。得到

所以我们猜测,

元线性方程组的唯一解是

,其中

是系数矩阵,

是把第

列替换成增广矩阵的最后一列的系数矩阵。

这里需要补充一个定理。行列式按一行展开时是某一行元素乘对应的代数余子式。如果我们不乘对应的会怎么样呢?

考虑一个行列式

我们用第

行的元素乘第

行的代数余子式。这样就和

的展开式一样了(可以自己试试)。而这个行列式值等于0,所以行列式某一行的元素乘另外一行的元素的代数余子式的和等于0。对列也有同样的性质。

回归主题,把我们猜的解

代入方程组

提公因式得到

按第

列(之前我们替换掉那列)展开

重新分组

这时,注意到从里面的括号里的是第

行的元素乘余子式,因为只有乘第

行的余子式才不等于0.所以从外面的括号里的变成了

所以

左边

右边

得证。

行列式还有很多应用,比如求三棱柱的体积,等等。这里不详述了。

拉普拉斯定理

之前我们把行列式的一行单独提出来,这次我们考虑能不能把行列式的

行提出来。

例如,我们先看行列式的第

行。从第

行开始取,有

种取法,一直到第

行,有

种取法,一共

种取法。这里包括了

个列的组合和每个列的组合中的

种取法。这时你应该能看出来,种

种取法就对应了一个

阶行列式,这个

阶行列式我们把它叫做

阶子式。

接下来考虑在剩下的

行中取,我们把这

行命名为第

行。首先,当我们取定一个

阶子式时,子式占用的行和列就不能再取元素了,这样我们只剩下了

个元素可以取。另外,在这

个元素的取法也和行列式一样。我们把这个行列式叫做

阶子式的余子式。

这样,

阶子式和余子式就把1~

行和1~

列取遍了,所以行列式的展开应该具有

阶子式和余子式相乘的形式。

接下来就是判断符号,我们先任取一个

阶子式和它的余子式相乘

我们先把两个行列式按行指标成自然序展开,并任取一项进行研究

~

~

的一种排列方式,

~

~

的一种排列方式。这项的符号现在是

我们要看看它和正常展开的逆序数差了多少,可以通过对换来实现(类比行列式按一行展开)。不过对换之前,我们要把两个序列合并。

合并为

,这时逆序数增加了在

中比

小的部分,由于

的一种排列方式,所以我们可以看

中比

小的部分。

中比

小的有

个(因为1~

都在

中)。

中比

小的有

个(因为1~

只有

不在

中)。同理,

中比

小的有

个。所以合并会使逆序数改变

所以符号变成了

接下来把

阶子式和余子式的乘积的展开式的行指标变成自然序。即

移到

后面需要先跨过

(对换了

次),然后再对换

次。把

对换到

后面需要对换

次。一共对换了

同时列指标也对换了

次。

这时符号变成了

是行列式正常展开的系数。

所以,我们通过一系列变换得到了

这个结果说明了子式和余子式相乘展开式的系数和行列式正常展开的系数差了

这样,行列式按

行展开的一项的完整形式应该是

另外,我们可以把

阶子式记为

是原行列式的符号(没有

),括号里是子式在原行列式的行指标和列指标。

所以行列式按

行展开的公式就是

如果你看不懂公式,他的文字叙述就是在行列式中任取

行,这个行列式的值等于它的所有由这

行生成的

阶子式和它的代数余子式(带符号的余子式)乘积之和。这就是拉普拉斯(Laplace)定理。

应用转置的性质,还可以得到行列式按

列展开的公式。

HuMingyu

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